Why trigonometry

因为三角法NB

三角法的核心

解析方法在解决平面几何问题时，核心在于为平面几何图形中的每一个自由参数(也称自由度)分配一个变量，将剩下的部分用这些自由参数对应的变量表示出来(类似于解线性方程组)，并运用代数变换推导相关结论。
换句话说，解析方法就是找到自由的元素作为参数，利用它们确定整个图形的生成。
(从而解析方法最重要的就是从图形基本元素和结构出发，用参数和变量等准确表示整个图形的“图形表征能力”和运用代数规则对所得到的表达式进行等价变换、推导结论的“恒等变换能力”)
从某种程度上来说，解析方法的思考模式更加底层与可量化——不像某些几何构造宛若“天外来物”，解析方法最重要的是明确图形的自由元素，即整个图形生成的基础，并用合适的方式表示出来整个图形，推演的思维跨度更低。(后面我们也会详细讲这一方面，见基于“消点”的三角法底层展开)
借助这种思考模式，我们可以更好地理解图形的生成和性质——这也从另一方面增强了解析理论的应用性。我们能更容易利用为数不多的基本定理或方法(相较于传统几何而言)解决各种各样的平面几何问题，因为借助上述思考模式有助于我们更好的理解题目和题目条件，并由此总结出一系列基础构型，而基础构型和基础定理决定了三角法等解析方法具有泛用性，这也是笔者决定介绍三角法的原因之一。(另一个很重要的原因是笔者想不到宛若“天外来物”的几何构造)

三角法的好处

三角法不同于其他解析方法，由于三角函数的自变量是角度，因而三角函数在刻画角度上有独特优势(巧合的是，其他解析方法诸如坐标系、复数法、重心坐标等在这方面做得并不够好)，并借助正弦定理与余弦定理构建起了用三角函数同时简便地表示长度和角度的体系，使得三角法有了成为“比较简单的解析方法”的可能。
这也是三角法的突出优点。

Note

可以相信，三角法(乃至所有的解析方法)一定会成功（自由度是有限的，从而一定可以基于有限的自由元素表示整个图形），只不过人工处理起来有的时候会很困难，显得也很丑陋(可读性不高)，不如寻找其他方法或放弃。(参考《数学奥林匹克中的欧几里得几何》)