合分比技术
严格来说，合分比技术是一种代数处理方法，并不能算是三角体系中的一环，但是由于正弦定理及正弦定理系的存在，在化简的过程中三角比例式常常出现，这个时候如果合理运用合分比技术，再结合和差化积与积化和差，往往能使化简的表达式得以“跳出圈子，向前一步”，笔者喜欢称其为“破局”。(参考张景中先生《几何新方法和新体系》)
有题为证：
合分比技术的例子
如图，在锐角\(\triangle ABC\)中，\(AB>AC\)，\(H\)为垂心，\(AM\)为中线，\(BE,CF\)是高，\(D\)在 \(BC\) 边上，满足 \(\angle CAD=\angle BAM\) 与 \(\angle ADH=\angle MAH\)，求证：\(EF\)平分线段\(AD\)。
(2022-东南数学奥林匹克-P2)
问题之证明
由条件，\(AD\)与\(AM\)为等角线，且\(\triangle AEF\sim\triangle ABC\)，
故\(AD\)平分\(EF\)，从而即证明：\(AEDF\)为平行四边形。
设\(AD\cap EF=G\)，由相似对应，\(\angle DGE=\angle AMC\)，且\(\angle ADH=\angle MAH\)，两式相加得\(\angle DGE+\angle ADH=90^{\circ}\)，即\(DH\perp EF\).
导角易得 \(\angle BHD=B,\angle CHD=C\)，故由分角定理
\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BH\sin B}{CH\sin C}=\dfrac{\sin B\cos B}{\sin C\cos C}\)
而由陪位中线的知识知（事实上由分角定理也易得）
\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\sin^2 C}{\sin^2 B}=\dfrac{\sin B\cos B}{\sin C\cos C}(\^{*})\)
所证\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AE}{EC}\Leftrightarrow\dfrac{\sin^2 C}{\sin^2 B}=\dfrac{\sin C\cos A}{\sin A\cos C}\\ \Leftrightarrow\dfrac{\sin^2 B}{\sin C\cos C}=\tan A\)
对\((\^{*})\)式处理得：
\(\dfrac{\sin^2 C}{\sin B\cos B}=\dfrac{\sin^2 B}{\sin C\cos C}=\dfrac{\sin^2 C-\sin^2 B}{\sin B\cos B-\sin C\cos C}\\
=\dfrac{\cos 2B-\cos 2C}{\sin 2B-\sin 2C}=\tan A\)，即\(\dfrac{\sin^2 B}{\sin C\cos C}=\tan A\). 得证.