塞瓦型补充

在解决几何问题的过程中，有一个较为常见的构型：

$P$为$\triangle A B C$内一点，考察$P A \cdot B C$的性质。

由于这是一个二次式，而正弦定理是一次式，塞瓦定理、梅涅劳斯定理是齐次式，而与二次相关的直接结论便是余弦定理，但余弦定理的交叉项需要两条边共顶点，图中的这两条边$P A$与$B C$显然不满足这一点，所以已有的定理无法直接处理这个问题。

这时就需要如下引理：

（Ceva型引理）图如上，则有： $$ \dfrac{P A \cdot B C}{\sin(\angle B P C-\angle B A C)}=\dfrac{P B \cdot A C}{\sin(\angle A P C-\angle A B C)}=\dfrac{P C \cdot A B}{\sin(\angle A P B-\angle A C B)} $$

引理之证明

构造相似形如下：

其中$\triangle A B P \sim \triangle A C P'$，故又有$\triangle A B C \sim \triangle A P P'$，从而： $$ \dfrac{B C}{P P'}=\dfrac{A B}{A P} $$ 而 $$ \dfrac{P P'}{\sin \angle P C P'}=\dfrac{P C}{\sin \angle C P P'} $$
且 $\angle P C P'=\angle A B P+\angle A C P=\angle B P C-\angle B A C$, $\angle C P P'=\angle A P C-\angle A B C$, 故有： $$ P A \cdot B C=A B \cdot \dfrac{P C \sin(\angle B P C-\angle B A C)}{\sin(\angle A P C-\angle A B C)} $$ 即 $$ \dfrac{P A \cdot B C}{\sin(\angle B P C-\angle B A C)}=\dfrac{P C \cdot A B}{\sin(\angle A P B-\angle A C B)} $$ 同理有其他两式。结论得证。

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值得一提的是

此引理是笔者遇到的印象十分深刻的引理，在某些情况下有化腐朽为神奇之用

下面用一个例子展示一下这个引理的强大之处：

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P为$\triangle A B C$外接圆上一动点，$I_1$和$I_2$为$\triangle A B P$和$\triangle B C P$的旁心，证明：$\triangle I_1 I_2 P$的外接圆过不依赖于$P$的定点。

定理之证明

证明：设$\triangle A B C$的外接圆为$\omega$，令$\odot I_1 P I_2 \cap \omega$ 于$F$，我们证明 $F$ 即为所求. 设$B I_1$交$\omega$于$D$，$C I_2$交$\omega$于$E$，记$\angle B A D=\alpha$，$\angle F A D=\beta$，利用旁心导角有： $$ \angle A I_1 P=\dfrac{\angle A X P}{2}=\dfrac{B+\angle C A P}{2}=\dfrac{A+B-2 \alpha}{2}=\dfrac{\pi-C}{2}-\alpha, $$ $$ \angle I_1 A P=\alpha \Rightarrow\angle A P I_1=\dfrac{\pi+C}{2} $$ 同理：$$ \angle A P I_2=\dfrac{\pi+B}{2} , \angle I_1 P I_2=\dfrac{\pi+A}{2} $$ $$ \angle I_1 I_2 F=\angle I_1 P F=\angle A F P-\angle I_1 A F-\angle A I_1 P=\angle A I_1 P-\angle I_1 A F=\dfrac{\pi-C}{2}-\alpha-\beta $$ $$ \angle I_2 I_1 F=\pi-\angle I_1 I_2 F-\angle I_1 P I_2=\dfrac{C-A}{2}+\alpha +\beta, \angle I_2 A F=\dfrac{A}{2}-\beta. $$ 从而 $$ \angle I_1 I_2 F+\angle I_1 A F=\dfrac{\pi-C}{2}-\alpha, \angle I_2 I_1 F+\angle I_2 A F=\dfrac{C}{2}+\alpha. $$ 由引理： $$ \dfrac{I_1 F \cdot A I_2}{\sin(\dfrac{\pi-C}{2}-\alpha)}=\dfrac{I_2 F \cdot A I_1}{\sin(\dfrac{C}{2}+\alpha)} $$ $$ \Rightarrow \dfrac{I_1 F}{I_2 F}=\dfrac{A I_1}{A I_2} \cdot \dfrac{\cos(\dfrac{C}{2}+\alpha)}{\sin(\dfrac{C}{2}+\alpha)}. $$ 而由内心性质 $$ A I_1=4R \cos \dfrac{\angle A B P}{2} \cos \dfrac{\angle A P B}{2}=4R \cos \frac{\pi-C-2\alpha}{2} \cos \dfrac{C}{2}=4R \sin (\dfrac{C}{2}+\alpha) \cos \dfrac{C}{2}, $$ $$ A I_2=4R \cos \dfrac{\angle A C P}{2} \cos \dfrac{\angle A P C}{2}=4R \cos (\dfrac{C}{2}+\alpha) \cos \dfrac{B}{2}, $$ $$ \Rightarrow \dfrac{I_1 F}{I_2 F}=\dfrac{\sin \angle I_1 I_2 F}{\sin \angle I_2 I_1 F}=\dfrac{\cos(\dfrac{C}{2}+\alpha+\beta)}{\sin(\dfrac{C-A}{2}+\alpha+\beta)}=\dfrac{\cos(\dfrac{C}{2}+\angle B A F)}{\sin(\dfrac{C-A}{2}+\angle B A F)}=\dfrac{\cos \dfrac{C}{2}}{\cos \dfrac{B}{2}} $$ 由余切联合定理知$\tan \angle B A F$为只依赖于$A,B,C$的值，所以$F$为定点，得证.

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